Midnight собирает числовые сокровища: учимся различать делители и кратные, применять признаки делимости, раскладывать числа на простые множители, находить НОД и НОК и использовать эти понятия в задачах.
10 карточек: определения, признаки делимости, НОД, НОК и примеры.
01
12 вопросов по определениям, правилам и выбору НОД/НОК.
02
15 важных прототипов. В одном наборе — 60 заданий.
03Говорят, что натуральное число a делится на натуральное число b без остатка, если существует натуральное число c, для которого a = b · c. Это записывают так: b | a.
В этом случае b называют делителем числа a, а a — кратным числа b.
Делители числа — все натуральные числа, на которые данное число делится без остатка. У натурального числа конечное число делителей; 1 и само число всегда являются его делителями.
Кратные числа a получают умножением a на натуральные числа: a, 2a, 3a, … Кратных у числа бесконечно много.
Признак делимости позволяет определить, делится ли число на другое число, не выполняя само деление.
Простое число — натуральное число, большее 1, которое имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само это число.
Составное число — натуральное число, большее 1, которое имеет более двух натуральных делителей.
Разложить число на простые множители — значит представить его в виде произведения простых чисел.
Каждое натуральное число, большее 1, имеет единственное разложение на простые множители, если не учитывать порядок множителей.
180 = 2² · 3² · 5
Последовательно дели число на простые делители. Удобно начинать с наименьшего возможного простого делителя: 2, затем проверять 3, 5, 7 и далее.
После каждого деления продолжай раскладывать полученное частное, пока не получится 1. Все использованные простые делители и образуют разложение.
Общий делитель нескольких чисел — натуральное число, которое является делителем каждого из них.
Наибольший общий делитель (НОД) — наибольший из их общих делителей.
НОД(84, 126) = 2 · 3 · 7 = 42
Два натуральных числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.
Такие числа не обязаны сами быть простыми: важно только, чтобы у них не было общих делителей, кроме 1.
Общее кратное нескольких чисел — натуральное число, которое является кратным каждого из них.
Наименьшее общее кратное (НОК) — наименьшее натуральное число среди их общих кратных.
НОК(12, 18) = 2² · 3² = 36
Если a | b, то НОД(a, b) = a, а НОК(a, b) = b. Если числа взаимно простые, то их НОК равно произведению этих чисел.
НОД(a, b) · НОК(a, b) = a · b
Совершенным называют натуральное число, равное сумме всех своих натуральных делителей, кроме самого числа.
Два натуральных числа называют дружественными, если каждое из них равно сумме всех натуральных делителей другого числа, не считая самого этого числа.
Два простых числа называют близнецами, если их разность равна 2.
Произведение нескольких одинаковых множителей записывают с помощью степени: aⁿ = a · a · … · a, где множитель a повторяется n раз.
a — основание степени, n — показатель степени. Степень с показателем 1 равна самому числу: a¹ = a. Вторую степень называют квадратом, третью — кубом.
Делим число на простые делители по порядку. Справа записываем делитель, слева — полученное частное. Продолжаем, пока не получим 1.
Можно проходить сразу — ничего разблокировать не нужно.